#P04 · 확률 · 통계 · AI 최적화 (Probability & AI) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

기댓값과 분산 (확률변수의 모멘트)

크리스티안 하위헌스 · 체비쇼프 · 1657년

E[X] = \sum_i x_i p_i, \quad \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2

\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}, \quad E[aX+b] = aE[X]+b

확률분포의 무게중심인 기댓값(평균 μ)과 데이터가 중심으로부터 얼마나 흩어져 있는지를 제곱 평균으로 측정하는 분산(σ²) 공식입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

보상값 x₁ (확률 0.5)

보상값 x₂ (확률 0.3)

보상값 x₃ (확률 0.2)

E[X] = 10.00, \quad \operatorname{Var}(X) = 175.0 - (10.0)^2 = 75.00

기댓값 E[X] (평균 μ)

10.000

분산 Var(X) = σ²

75.000

표준편차 σ

8.660

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (7 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#P01순열과 조합 (경우의 수)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 3#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 4#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 5#P02조건부확률과 곱셈정리

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 6#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#P04기댓값과 분산 (확률변수의 모멘트)

E[X] = \sum_i x_i p_i

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (5)

#P05이항분포와 베르누이 시행 #P06정규분포 (가우시안 분포)와 표준화 Z #P07중심극한정리 (CLT)와 신뢰구간 #P08상관계수와 최소제곱 선형회귀 (OLS)#P09정보 엔트로피와 교차 엔트로피 (Cross-Entropy)

기하학적·직관적 원리 해설

'제곱의 평균 빼기 평균의 제곱(E[X²] - E[X]²)'은 매번 편차를 구하지 않고도 한 번의 순회로 분산을 빠르게 계산하게 해 줍니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.Var(X) = E[(X - μ)²] = E[X² - 2μX + μ²] (단, μ = E[X])
Step 2.기댓값의 선형성에 의해 E[X²] - 2μE[X] + μ² = E[X²] - 2μ² + μ²
Step 3.따라서 Var(X) = E[X²] - (E[X])²

AI · 프로그래밍 실전 활용처

강화학습(RL)의 누적 보상 기댓값 최대화, 딥러닝 배치 정규화(BatchNorm/LayerNorm) 및 가중치 초기화(Xavier/He)의 핵심 수식입니다.

#Reinforcement Learning#Batch Normalization#Quant Risk#Weight Initialization

const mean = xs.reduce((a,b)=>a+b,0)/xs.length; const variance = xs.reduce((s,x)=>s+(x-mean)**2,0)/xs.length;

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