#L07 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

2D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)

레온하르트 오일러 · 올린데 로드리게스 · 1775년

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},\quad R^{-1} = R^T

\det(R) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

물체의 크기나 형태를 전혀 왜곡하지 않고(det(R)=1) 원점이나 축을 중심으로 각도 θ만큼 회전시키는 직교행렬로, 역행렬이 전치행렬(R^T)과 같아 3D 게임 엔진과 로봇 공학에서 초고속으로 연산됩니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

원래 좌표 x

원래 좌표 y

회전 각도 θ°

(x', y') = (1.41,\; 4.24), \quad \det R(45^\circ) = 1

회전 후 좌표 (x', y')

(1.414, 4.243)

보존된 벡터 길이 ||v||

4.472

회전각 θ

45°

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (15 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 6#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 10#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 11#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 12#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#G06삼각함수 덧셈정리와 배각공식

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 14#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

\det(A) = ad - bc

STEP 15#L072D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (2)

#L09특이값 분해(SVD)와 주성분 분석(PCA)#L10사원수(Quaternion)와 3D 구면선형보간(SLERP)

기하학적·직관적 원리 해설

x축 기저벡터 (1, 0)을 θ만큼 회전시키면 (cos θ, sin θ)가 되어 1열에 들어가고, y축 기저벡터 (0, 1)을 θ만큼 회전시키면 (-sin θ, cos θ)가 되어 2열에 들어갑니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 기저벡터 e₁=(1,0) 과 e₂=(0,1) 이 각도 θ 회전 후 이동한 좌표를 행렬의 열벡터로 배치합니다.
Step 2.2단계: 임의의 점 (x, y) = x·e₁ + y·e₂ 에 선형성을 적용하면 x' = x cos θ - y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ
Step 3.3단계: 행렬식 det(R) = cos²θ - (-sin²θ) = 1 이므로 넓이가 보존되며, R(-θ) = R(θ)^T = R(θ)⁻¹ 입니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

Three.js·Unreal·Unity 3D 오브젝트/카메라 회전 변환 및 자율주행 LiDAR 포인트클라우드 좌표계 정합(ICP)

#3D Engine Rotation#LiDAR Point Cloud#Orthogonal Matrix SO(3)

const rot2D = (x:number, y:number, r:number) => ({ x: x*Math.cos(r) - y*Math.sin(r), y: x*Math.sin(r) + y*Math.cos(r) });

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