#L10 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.53D 마인드맵에서 보기

사원수(Quaternion)와 3D 구면선형보간(SLERP)

윌리엄 로언 해밀턴 (William Rowan Hamilton) · 1843년

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2},\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1

\mathbf{p}' = q\,\mathbf{p}\,q^{-1},\quad \operatorname{Slerp}(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1-t)\Omega)}{\sin\Omega}q_1 + \frac{\sin(t\Omega)}{\sin\Omega}q_2

복소수를 4차원 초복소수(w + xi + yj + zk)로 확장하여, 오일러 각 회전의 치명적 결함인 '짐벌락(Gimbal Lock)' 현상을 완벽히 해결하고 두 3D 방향 사이를 가장 부드럽게 잇는 3D 게임·항공우주의 필수 공식입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

3D 회전 각도 θ°

회전축 z성분 비율

\mathbf{q} = 0.707 + 0.000\mathbf{i} + 0.707\mathbf{k} \quad (\|\mathbf{q}\|=1)

스칼라부 w = cos(θ/2)

0.7071

벡터부 (qx, qz)

(0.000, 0.707)

단위 노름 ||q||

1.0000

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (26 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 5#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 8#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 10#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 11#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 12#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 14#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 15#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 16#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 17#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 18#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 19#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

STEP 20#G06삼각함수 덧셈정리와 배각공식

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 21#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

\det(A) = ad - bc

STEP 22#A09허수 단위 i와 복소평면 극형식

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 23#L072D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

STEP 24#C06테일러 급수와 매클로린 다항 근사

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 25#C07오일러 공식과 세상에서 가장 아름다운 등식

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 26#L10사원수(Quaternion)와 3D 구면선형보간(SLERP)

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2}

기하학적·직관적 원리 해설

2D 평면 회전을 복소수 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 로 표현했듯, 3D 공간에서 단위 회전축 u = (u_x, u_y, u_z) 둘레로 θ만큼 회전하는 것은 q · p · q⁻¹ 양쪽 곱셈 때문에 반각(θ/2)을 쓰는 4차원 단위 사원수가 됩니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 해밀턴이 더블린 브로엄 다리에 새긴 기본 관계식 i² = j² = k² = ijk = -1 로부터 ij = k, ji = -k (외적 성질)가 도출됩니다.
Step 2.2단계: 회전축 단위벡터 u 에 대해 단위 사원수 q = cos(θ/2) + u sin(θ/2) 를 구성합니다.
Step 3.3단계: 3D 점 p를 순허수 사원수로 보고 q p q⁻¹ 을 계산하면, 축 u 에 수직인 성분이 정확히 θ/2 + θ/2 = θ 만큼 회전합니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

Three.js·Unity·Unreal 캐릭터 관절 애니메이션(Quaternion SLERP) 및 드론·우주선 자세 제어(짐벌락 방지)

#Three.js Quaternion#Gimbal Lock Free#Aerospace Attitude

const quatFromAxisZ = (rad: number) => ({ w: Math.cos(rad/2), x: 0, y: 0, z: Math.sin(rad/2) });

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