#L06 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

가우스 소거법과 연립선형방정식 (Ax = b)

구장산술 · 카를 프리드리히 가우스 · 크라메르 · 1750년

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

[A \mid \mathbf{b}] \xrightarrow{\text{RREF}} [I \mid \mathbf{x}]

수천 개의 미지수가 얽힌 연립선형방정식 Ax = b 를 행 기본 연산(가우스 소거법)과 행렬식(크라메르 공식)으로 체계적으로 풀어내는 과학기술 계산의 핵심 알고리즘입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

1식 계수 a₁ (a₁x+y=c₁)

1식 상수 c₁

2식 계수 a₂ (a₂x-y=c₂)

2식 상수 c₂

\begin{cases}2x + y = 5\\ 1x - y = 1\end{cases} \implies (x, y) = (2.00,\; 1.00)

연립방정식 교점 해 (x, y)

(2.00, 1.00)

계수 행렬식 det(A)

-3.00

행렬 랭크 rank(A)

2 (유일해)

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (14 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 5#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

\det(A) = ad - bc

STEP 14#L06가우스 소거법과 연립선형방정식 (Ax = b)

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

기하학적·직관적 원리 해설

2차원 평면에서 두 일차방정식은 두 개의 직선이며, 연립방정식의 해 (x, y)는 두 직선이 교차하는 단 하나의 교점입니다. 두 직선이 평행하면(det(A)=0) 교점이 없거나 무수히 많습니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 연립방정식 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ 를 행렬 형태 Ax = b 로 표기합니다.
Step 2.2단계: 첫째 식에 b₂를 곱하고 둘째 식에 b₁을 곱해 빼면 y가 소거되어 (a₁b₂ - b₁a₂)x = c₁b₂ - b₁c₂
Step 3.3단계: det(A) = a₁b₂ - b₁a₂ ≠ 0 일 때 x = det(A_x)/det(A), y = det(A_y)/det(A) 로 해가 구해집니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

전자회로 시뮬레이터(SPICE 키르히호프 방정식), 구조역학 유한요소해석 및 최소제곱 정규방정식(A^T A x = A^T b) 해산

#Linear Solver Ax=b#SPICE Circuit Sim#Normal Equations

const det = a1*b2 - b1*a2; const x = (c1*b2 - b1*c2)/det; const y = (a1*c2 - c1*a2)/det;

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