#C04 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

미적분학의 기본정리와 정적분

아이작 뉴턴 · 라이프니츠 · 아이작 배로 · 1669년

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad (F'(x) = f(x))

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)

전혀 별개의 문제였던 '접선의 기울기(미분)'와 '곡선 아래의 넓이(적분)'가 서로 역연산 관계임을 밝혀내어, 무한개의 직사각형 합(리만 합)을 부정적분 양 끝점의 차 F(b)-F(a) 한 줄로 해결합니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

적분 시작 구간 a

적분 끝 구간 b

\int_{0}^{3} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27.0 - 0.0}{3} = 9.0000

정적분 넓이 ∫x²dx

9.0000

원시함수 F(b)-F(a)

9.0000

구간 평균값

3.000

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (9 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (4)

#C05치환적분과 부분적분법 #C06테일러 급수와 매클로린 다항 근사 #C09푸리에 급수와 푸리에 변환 (시간 ↔ 주파수)#P06정규분포 (가우시안 분포)와 표준화 Z

기하학적·직관적 원리 해설

시속 f(t) km로 달린 자동차의 속도 그래프 아래 넓이(이동거리)는, 결국 출발할 때 계기판 누적거리 F(a)와 도착할 때 계기판 누적거리 F(b)의 차이 F(b) - F(a)와 정확히 같습니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 넓이 함수 A(x) = ∫_a^x f(t) dt 에 대해 증분 ΔA = A(x+h) - A(x) ≈ f(x)·h 입니다.
Step 2.2단계: 양변을 h로 나누고 h → 0 극한을 취하면 A'(x) = f(x) 가 되어 넓이 함수의 도함수가 원래 함수 f(x)임이 증명됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 임의의 부정적분 F(x)에 대해 ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) 가 성립합니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

게임 물리 엔진 속도→위치 적분(Verlet/Runge-Kutta), 3D 렌더링 방정식(Ray Marching) 및 확률 누적분포(CDF) 계산

#Physics RK4 Integrator#3D Rendering Equation#Probability CDF

const simpson = (f:(x:number)=>number, a:number, b:number) => ((b-a)/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b));

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