#L04 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

아서 케일리 (Arthur Cayley) · 1858년

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

AB \neq BA \quad (\text{Non-commutative})

앞 행렬 A의 i번째 행벡터와 뒤 행렬 B의 j번째 열벡터를 내적(Dot Product)하여 새로운 행렬을 만드는 연산으로, 기하학적으로는 '두 선형변환(회전·확대·전단)을 연속으로 적용'하는 것과 같습니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

행렬 A₁₁

행렬 A₁₂

행렬 B₁₁

행렬 B₂₁

\begin{bmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5.0\\5.0\end{bmatrix}

합성 성분 (AB)₁₁ = 1행·1열

5.000

합성 성분 (AB)₂₁ = 2행·1열

5.000

변환 스케일 배율

2.236

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (11 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 9#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (6)

#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식 #L06가우스 소거법과 연립선형방정식 (Ax = b)#L072D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)#L08고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터 방정식 #L09특이값 분해(SVD)와 주성분 분석(PCA)#P10소프트맥스(Softmax)와 확률적 경사하강법 (SGD)

기하학적·직관적 원리 해설

왜 행렬 곱셈은 같은 자리끼리 곱하지 않고 '행 × 열'로 복잡하게 곱할까요? 벡터 x에 변환 B를 먼저 가하고(Bx) 이어서 변환 A를 가한 A(Bx) 의 최종 결과 식을 정리해보면 정확히 (AB)x 의 행×열 내적 규칙이 나오기 때문입니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 벡터 x를 y = Bx 로 변환하면 y_k = ∑_j B_{kj} x_j 입니다.
Step 2.2단계: 다시 y를 z = Ay 로 변환하면 z_i = ∑_k A_{ik} y_k = ∑_j (∑_k A_{ik} B_{kj}) x_j 가 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 합성 변환 행렬 C = AB 의 (i, j) 성분은 C_{ij} = ∑_k A_{ik} B_{kj} 로 유일하게 결정됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

NVIDIA GPU 텐서코어 연산의 90%를 차지하는 AI 딥러닝 레이어(Y = XW + B) 및 3D 그래픽스 Model-View-Projection(MVP) 행렬 파이프라인

#GPU Tensor Cores GEMM#Deep Learning Y=XW#3D MVP Pipeline

const matMul2 = (A:number[][], B:number[][]) => [[A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1]]];

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