#P05 · 확률 · 통계 · AI 최적화 (Probability & AI) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

이항분포와 베르누이 시행

야코프 베르누이 · 1713년

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad X \sim B(n, p)

E[X] = np, \quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)

성공 확률이 p인 독립 베르누이 시행을 n번 반복할 때 k번 성공할 확률분포로, 이산 사건 시뮬레이션과 A/B 테스트의 기반입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

시행 횟수 n

목표 성공 횟수 k

단일 성공 확률 p

P(X=4) = \binom{12}{4}(0.3)^{4}(0.70)^{8} = 23.11\%

확률 P(X = 4)

23.11%

기댓값 E[X] = np

3.60

표준편차 σ = √npq

1.59

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (8 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01순열과 조합 (경우의 수)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#P02조건부확률과 곱셈정리

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 6#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#P04기댓값과 분산 (확률변수의 모멘트)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 8#P05이항분포와 베르누이 시행

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (1)

#P06정규분포 (가우시안 분포)와 표준화 Z

기하학적·직관적 원리 해설

(p + q)^n을 이항정리로 전개했을 때 k번째 항이 곧 n번 중 k번 성공할 확률과 정확히 일치합니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.특정 순서로 k번 성공하고 (n-k)번 실패할 확률은 독립성에 의해 p^k (1-p)^(n-k)입니다.
Step 2.n번의 시행 중 성공이 일어날 k개의 위치를 고르는 방법의 수는 조합 C(n, k)가지입니다.
Step 3.따라서 P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

AI · 프로그래밍 실전 활용처

웹·앱 광고 클릭률(CTR) A/B 테스트 유의성 검정, 드롭아웃(Dropout) 뉴런 마스킹 확률 모델링 및 게임 가챠(확률형 아이템) 시뮬레이션에 쓰입니다.

#A/B Testing#Dropout Regularization#CTR Modeling#Game Gacha Math

const binomPMF = (n, k, p) => nCr(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);

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