#C08 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

편미분과 그래디언트 벡터 (∇f 다변수 미분)

오일러 · 해밀턴 · 라그랑주 · 1846년

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)

D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u},\quad \Delta f = \nabla^2 f

수많은 변수를 가진 다변수 함수에서 각 변수 방향의 변화율(편미분)을 모아 만든 그래디언트 벡터 ∇f 는 3차원 지형에서 '가장 가파르게 올라가는 방향'을 가리키는 나침반입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

현재 위치 x (f=x²+2y²)

현재 위치 y

f(x,y)=x^2+2y^2 \implies \nabla f(2,1.5) = (4.0,\; 6.0)

그래디언트 ∇f = (2x, 4y)

(4.0, 6.0)

최대 경사 크기 ||∇f||

7.211

경사하강 방향 -∇f

(-4.0, -6.0)

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (12 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 7#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 8#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 9#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 10#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 11#C03곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 12#C08편미분과 그래디언트 벡터 (∇f 다변수 미분)

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (2)

#P08상관계수와 최소제곱 선형회귀 (OLS)#P10소프트맥스(Softmax)와 확률적 경사하강법 (SGD)

기하학적·직관적 원리 해설

안개 낀 산에서 가장 빨리 정상으로 올라가려면 발밑의 x축 경사(∂f/∂x)와 y축 경사(∂f/∂y)를 합친 벡터 ∇f 방향으로 걸으면 되고, 가장 빨리 골짜기(오차 최소점)로 내려가려면 반대 방향 -∇f 로 걸으면 됩니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 다변수 함수 f(x, y)에서 y를 상수로 고정하고 x에 대해서만 미분한 값을 편미분 ∂f/∂x 라 합니다.
Step 2.2단계: 단위벡터 u 방향으로의 방향도함수는 연쇄법칙에 의해 D_u f = (∂f/∂x)u_x + (∂f/∂y)u_y = ∇f · u 입니다.
Step 3.3단계: 내적 공식 ∇f · u = ‖∇f‖ cos θ 에 의해 θ = 0° (즉 u가 ∇f와 같은 방향)일 때 변화율이 최대가 됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

수십억 파라미터 LLM·딥러닝 손실함수 경사하강법(-∇L) 및 컴퓨터 비전 이미지 엣지 검출(Sobel Gradient)

#Gradient Descent -∇L#Computer Vision Sobel#Physics Field ∇

const grad2D = (a:number, b:number, x:number, y:number) => ({ gx: 2*a*x, gy: 2*b*y });

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