#L05 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

세키 고와 · 고트프리트 라이프니츠 · 코시 · 1683년

\det(A) = ad - bc,\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

AA^{-1} = I,\quad \det(AB) = \det(A)\det(B)

선형변환 후 공간의 넓이나 부피가 몇 배로 팽창·수축했는지를 나타내는 행렬식 det(A)와, 변환을 원래대로 되돌리는 역행렬 A^(-1) 공식입니다. det(A)=0 이면 차원이 납작하게 찌그러져 역변환이 불가능합니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

성분 a (A₁₁)

성분 b (A₁₂)

성분 c (A₂₁)

성분 d (A₂₂)

\det(A) = (3)(4) - (1)(2) = 10.00

행렬식 det(A) = ad-bc

10.0000

역행렬 존재 여부

가역 (Invertible)

A⁻¹의 (1,1) 성분 d/det

0.400

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (13 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 5#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04행렬 곱셈과 선형변환 합성 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식

\det(A) = ad - bc

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (3)

#L06가우스 소거법과 연립선형방정식 (Ax = b)#L072D·3D 회전행렬과 직교행렬 (R^T R = I)#L08고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터 방정식

기하학적·직관적 원리 해설

가로·세로가 1인 단위 정사각형에 행렬 A를 곱하면 두 열벡터 (a, c)와 (b, d)가 만드는 평행사변형으로 변형되는데, 그 넓이가 정확히 ad - bc 입니다! 넓이가 0이 되어 선분으로 찌그러지면 다시 정사각형으로 복구(역행렬)할 수 없습니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 2×2 행렬 A의 두 열벡터 (a, c, 0)과 (b, d, 0)의 외적 z성분(평행사변형 부호 넓이)은 ad - bc 입니다.
Step 2.2단계: A · [[d, -b], [-c, a]] 를 행렬 곱셈하면 대각선은 ad - bc, 비대각선은 0이 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 ad - bc ≠ 0 일 때 양변을 (ad - bc)로 나누면 AA⁻¹ = I 를 만족하는 역행렬이 유도됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

3D 화면 마우스 클릭 좌표를 3D 월드 공간으로 역투영(Raycasting Unproject: MVP⁻¹) 및 생성형 AI Normalizing Flows 확률밀도 야코비안 계산

#3D Mouse Raycasting#Jacobian Determinant#Normalizing Flows

const det2 = (a:number, b:number, c:number, d:number) => a * d - b * c;

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