#G08 · 기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

구면좌표계 변환과 구의 부피·겉넓이

아르키메데스 · 오일러 · 기원전 225년

V = \frac{4}{3}\pi r^3,\quad A = 4\pi r^2 = \frac{dV}{dr}

(x, y, z) = (r\sin\phi\cos\theta,\; r\sin\phi\sin\theta,\; r\cos\phi)

구의 부피를 반지름 r로 미분하면 정확히 구의 겉넓이 4πr² 이 된다는 경이로운 관계와 함께, 위도·경도·반지름 (r, θ, φ)를 3차원 직교좌표 (x, y, z)로 변환하는 핵심 공식입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

반지름 r

방위각(경도) θ°

천정각(위도) φ°

V = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = 523.6, \; P(x,y,z) = (3.06, 3.06, 2.50)

구의 부피 V = 4/3πr³

523.60

구의 겉넓이 A = 4πr²

314.16

구면 직교좌표 (x, y, z)

(3.1, 3.1, 2.5)

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (10 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 6#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 9#G07이차곡선 (포물선·타원·쌍곡선) 방정식

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

STEP 10#G08구면좌표계 변환과 구의 부피·겉넓이

V = \frac{4}{3}\pi r^3

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (1)

#G09오일러 다면체 정리와 위상 불변량

기하학적·직관적 원리 해설

양파 껍질처럼 두께 dr 인 얇은 구면 껍질(넓이 4πr²)들을 r = 0 부터 R 까지 겹겹이 적분하여 쌓으면 구의 부피 ∫ 4πr² dr = (4/3)πR³ 이 됩니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 천정각 φ에 대해 z축 높이는 z = r cos φ 이고, xy평면에 투영된 반지름은 ρ = r sin φ 입니다.
Step 2.2단계: 방위각 θ에 대해 x = ρ cos θ = r sin φ cos θ, y = ρ sin θ = r sin φ sin θ 로 분해됩니다.
Step 3.3단계: 구의 단면적 π(r² - z²) 을 z = -r 부터 r 까지 적분하면 V = (4/3)πr³ 이 도출됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

3D 지구본·행성 360° 전구 텍스처 매핑, 3D 카메라 OrbitControls 공전 좌표 및 양자 오비탈 구면조화함수

#3D Globe Mapping#OrbitControls Camera#Spherical Harmonics

const toXYZ = (r:number, th:number, ph:number) => [r*Math.sin(ph)*Math.cos(th), r*Math.cos(ph), r*Math.sin(ph)*Math.sin(th)];

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