#C03 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.33D 마인드맵에서 보기

곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

고트프리트 라이프니츠 (Gottfried Wilhelm Leibniz) · 1676년

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},\quad (uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

겹겹이 합성된 함수의 미분을 각 단계 도함수의 곱으로 분해하는 연쇄법칙(Chain Rule)은 현대 AI 딥러닝 신경망의 가중치를 학습시키는 '역전파(Backpropagation)' 알고리즘 그 자체입니다!

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

내부 기울기 a (u=ax+1)

외부 지수 n (y=uⁿ)

입력값 x

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = 3(3.0)^{2} \cdot (2) = 54.00

합성미분 dy/dx (역전파)

54.000

외부 미분 dy/du = 3u^2

27.000

내부 미분 du/dx = a

2.000

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (8 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#C03곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (3)

#C05치환적분과 부분적분법 #C08편미분과 그래디언트 벡터 (∇f 다변수 미분)#P10소프트맥스(Softmax)와 확률적 경사하강법 (SGD)

기하학적·직관적 원리 해설

톱니바퀴 A가 1바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고(du/dx=3), B가 1바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면(dy/du=2), A가 1바퀴 돌 때 C는 2 × 3 = 6바퀴 돕니다(dy/dx = dy/du · du/dx).

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: u = g(x), y = f(u) 일 때 증분 비율은 Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) 로 분리됩니다.
Step 2.2단계: Δx → 0 일 때 연속성에 의해 Δu → 0 이므로 각각의 극한이 도함수 f'(u) 와 g'(x) 로 수렴합니다.
Step 3.3단계: 다층 신경망 y = f_L(...f_2(f_1(x))) 에서도 출력 오차부터 입력층까지 국소 미분을 곱해 역전파합니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

딥러닝 신경망 오차 역전파(Backpropagation) 및 PyTorch·TensorFlow 자동미분(Autograd) 엔진의 핵심 원리

#Deep Learning Backprop#PyTorch Autograd#Neural Net Training

const dL_dw = dL_dy * dy_du * du_dw; // Backpropagation Chain Rule

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