#C09 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.53D 마인드맵에서 보기

푸리에 급수와 푸리에 변환 (시간 ↔ 주파수)

조제프 푸리에 · 쿨리 & 튜키 (FFT) · 1822년

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega

세상의 아무리 복잡하고 불규칙한 파동·음성·영상 신호라도 단순한 사인·코사인파(e^(iωt))들의 합으로 완벽하게 분해하고 복원할 수 있다는 현대 디지털 문명(Wi-Fi, MP3, JPEG, MRI)의 기둥입니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

기본파 주파수 ω₁

고조파 주파수 ω₂

고조파 진폭 A₂

f(t) = \sin(1t) + 0.4\sin(3t), \quad E = 1^2 + 0.4^2 = 1.16

파르세발 에너지 ∑A_k²

1.1600

기본파 ω₁=1 비중

86.2%

고조파 ω₂=3 진폭

0.40

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (22 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 6#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 8#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 9#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 10#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 11#A07등차·등비수열의 합과 무한등비급수

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 12#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 14#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 15#C03곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 16#A09허수 단위 i와 복소평면 극형식

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 17#G06삼각함수 덧셈정리와 배각공식

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 18#C04미적분학의 기본정리와 정적분

\int_a^b f(x)\

STEP 19#C05치환적분과 부분적분법

\int u\

STEP 20#C06테일러 급수와 매클로린 다항 근사

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 21#C07오일러 공식과 세상에서 가장 아름다운 등식

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 22#C09푸리에 급수와 푸리에 변환 (시간 ↔ 주파수)

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\

기하학적·직관적 원리 해설

과일 스무디(복합 파동 f(t))를 마시고 그 안에 딸기·바나나·망고(주파수 ω 성분)가 각각 몇 그램씩 들어있는지 레시피(스펙트럼 f̂(ω))를 정확히 역추적해 내는 수학적 프리즘입니다!

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 서로 다른 주파수의 삼각함수(또는 복소지수 e^(iωt))는 한 주기 적분 시 내적이 0이 되는 직교성(Orthogonality)을 가집니다.
Step 2.2단계: 신호 f(t)에 e^(-iωt) 를 곱해 전체 시간 구간에서 정적분하면, 주파수 ω와 일치하는 공명 성분만 살아남고 나머지는 상쇄됩니다.
Step 3.3단계: 이로써 시간 영역 신호 f(t)가 주파수 영역 스펙트럼 f̂(ω)로 변환됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

AI 음성인식(Whisper 멜-스펙트로그램 추출), JPEG/MP3 압축, 5G·Wi-Fi OFDM 무선통신 및 의료 MRI 영상 복원

#Audio AI Spectrogram#5G/Wi-Fi OFDM#JPEG/MP3 Compression

const dftBin = (sig: number[], k: number) => sig.reduce((s, x, n) => s + x * Math.cos(2*Math.PI*k*n/sig.length), 0);

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