#G07 · 기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

이차곡선 (포물선·타원·쌍곡선) 방정식

아폴로니오스 · 요하네스 케플러 · 기원전 200년

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}

y^2 = 4px \;(\text{Parabola}),\quad \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \;(\text{Hyperbola})

원뿔을 평면으로 자를 때 나타나는 3대 곡선(포물선·타원·쌍곡선)의 대수 방정식으로, 행성·인공위성의 케플러 타원 궤도, 파라볼라 안테나 초점 설계, 볼록 최적화의 등고선을 설명합니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

장반경 a

단반경 b

c = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.00, \quad e = \frac{c}{a} = 0.800

이심률 e = c/a

0.8000

초점 거리 ±c

±4.000

타원 넓이 πab

47.12

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (7 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#A04이차방정식 근의 공식과 판별식

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 6#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 7#G07이차곡선 (포물선·타원·쌍곡선) 방정식

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (2)

#G08구면좌표계 변환과 구의 부피·겉넓이 #G10베지에 곡선(Bézier Curve) 매개변수 공식

기하학적·직관적 원리 해설

두 초점 F, F' 으로부터의 거리 합이 2a로 일정한 점들의 자취가 타원입니다. 두 초점이 하나로 합쳐지면(이심률 e=0) 완벽한 원이 됩니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0) 으로부터 거리의 합이 2a 인 점 P(x, y) 의 방정식을 세웁니다.
Step 2.2단계: √((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a 의 양변을 제곱하여 근호를 정리합니다.
Step 3.3단계: b² = a² - c² 으로 치환하면 x²/a² + y²/b² = 1 표준형 방정식이 도출됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

우주·인공위성 케플러 타원 궤도 시뮬레이션 및 머신러닝 다변량 가우시안 공분산 타원(Mahalanobis 등고선)

#Kepler Orbit Sim#Mahalanobis Ellipse#Antenna Optics

const eccentricity = (a: number, b: number) => Math.sqrt(1 - (b*b)/(a*a));

기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) — 함께 탐험할 연관 공식

피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

Lv.1 · Game Physics Distance

#G01

2D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

Lv.2 · K-Means & KNN ML

#G02

원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

Lv.1 · Three.js Radians

#G03

단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

Lv.2 · LLM RoPE Encoding

#G04

사인법칙과 제2코사인법칙

Lv.2 · Inverse Kinematics IK

#G05

삼각함수 덧셈정리와 배각공식

Lv.3 · Rotation Matrix Proof

#G06