#C02 · 미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

아이작 뉴턴 · 고트프리트 라이프니츠 · 1684년

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

구간 폭 h를 0으로 보내어 평균변화율(할선의 기울기)을 순간변화율(접선의 기울기)로 바꾸는 미분학의 핵심 정의로, 물체의 순간 속도와 가속도, 함수의 극대·극소 최적화를 풀어냅니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

접점 위치 x₀

미소 구간 Δx (h)

\frac{f(2+0.5)-f(2)}{0.5} = 4.500 \xrightarrow{h\to 0} f'(2) = 4.000

순간 접선 기울기 f'(2)

4.0000

할선 평균변화율 (Δx=0.5)

4.5000

근사 오차 |평균 - 순간|

0.5000

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (7 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A06로그의 정의와 밑변환 공식

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08이항정리와 파스칼의 삼각형

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02미분계수와 도함수 (순간변화율과 접선)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (5)

#C03곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)#C04미적분학의 기본정리와 정적분 #C06테일러 급수와 매클로린 다항 근사 #C08편미분과 그래디언트 벡터 (∇f 다변수 미분)#C10미분방정식과 감쇠 조화진동자 (물리·생성형 AI)

기하학적·직관적 원리 해설

곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)에서 두 점을 한없이 가깝게 모으면, 곡선에 스치듯 닿는 단 하나의 접선이 되며 그 기울기가 바로 도함수 f'(x)입니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: f(x) = x^n 일 때 이항정리에 의해 f(x+h) = x^n + n·x^(n-1)h + O(h²) 입니다.
Step 2.2단계: 차분몫 (f(x+h) - f(x)) / h = n·x^(n-1) + O(h) 를 구합니다.
Step 3.3단계: h → 0 극한을 취하면 고차항 O(h)가 사라져 (x^n)' = n·x^(n-1) 이 증명됩니다.

AI · 프로그래밍 실전 활용처

물리 엔진 속도·가속도 수치미분(Finite Difference) 및 딥러닝 손실함수 기울기(Gradient) 탐색

#Numerical Differentiation#Physics Velocity#Optimization Extremum

const diff = (f: (x:number)=>number, x: number, h = 1e-5) => (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);

미적분 · 해석학 (Calculus & Analysis) — 함께 탐험할 연관 공식

극한의 정의와 자연상수 e의 탄생

Lv.2 · Sigmoid & Softmax

#C01

곱의 미분법과 합성함수 연쇄법칙 (Chain Rule)

Lv.3 · Deep Learning Backprop

#C03

미적분학의 기본정리와 정적분

Lv.3 · Physics RK4 Integrator

#C04

치환적분과 부분적분법

Lv.3 · FEM Physics Sim

#C05

테일러 급수와 매클로린 다항 근사

Lv.4 · XGBoost 2nd-Order Loss

#C06

오일러 공식과 세상에서 가장 아름다운 등식

Lv.4 · LLM RoPE e^(imθ)

#C07