#L03 · 선형대수학 (Linear Algebra) · Lv.23D 마인드맵에서 보기

3차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

윌리엄 로언 해밀턴 · 조지프 기브스 · 1843년

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)

\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta,\quad (\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \perp \mathbf{a}, \mathbf{b}

3차원 공간의 두 벡터 a, b 모두에 동시에 수직(90°)인 새로운 법선벡터(Normal Vector)를 생성하며, 그 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이 ‖a‖‖b‖sin θ 와 같습니다.

🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터

벡터 a_x

벡터 a_y

벡터 b_x

벡터 b_y

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (0,\; 0,\; 2\cdot3 - 0\cdot0) = (0,\; 0,\; 6.0)

법선 벡터 a×b (z성분)

(0, 0, 6.00)

평행사변형 넓이 ||a×b||

6.000

삼각형 폴리곤 넓이 (½)

3.000

선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (11 STEP)

전체 경로 분석기

아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.

STEP 1#A01등식의 성질과 일차방정식

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02곱셈공식과 인수분해 항등식

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03지수법칙과 거듭제곱근

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식

l = r\theta

STEP 6#L01벡터의 연산과 L1·L2 노름(Norm)·정규화

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식

d(P

STEP 8#G05사인법칙과 제2코사인법칙

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02벡터의 내적(Dot Product)과 코사인 유사도

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L033차원 벡터의 외적(Cross Product)과 법선벡터

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

🚀 이 공식에서 파생되는 상위 공식 (2)

#L05행렬식(Determinant)과 역행렬 공식 #L10사원수(Quaternion)와 3D 구면선형보간(SLERP)

기하학적·직관적 원리 해설

오른손 네 손가락을 벡터 a에서 b로 감아쥐었을 때 엄지손가락이 가리키는 수직 방향이 바로 a × b 입니다. 3D 모델의 세 꼭짓점으로 만든 두 변을 외적하면 빛을 반사할 표면의 방향(법선벡터)이 즉시 구해집니다.

단계별 수식 유도 과정

Step 1.1단계: 미지의 벡터 n = (x, y, z) 가 a·n = 0 및 b·n = 0 (두 벡터 모두와 수직)을 만족하도록 연립방정식을 세웁니다.
Step 2.2단계: 행렬식 기호를 사용해 i(a_y b_z - a_z b_y) - j(a_x b_z - a_z b_x) + k(a_x b_y - a_y b_x) 를 도출합니다.
Step 3.3단계: 라그랑주 항등식 ‖a×b‖² + (a·b)² = ‖a‖²‖b‖² 에 cos²θ + sin²θ = 1 을 대입하면 ‖a×b‖ = ‖a‖‖b‖sin θ

AI · 프로그래밍 실전 활용처

3D 그래픽스 폴리곤 삼각형 표면 법선벡터(Surface Normal)·후면 제거(Back-face Culling) 및 물리 토크(τ = r × F)·로렌츠 힘 계산

#3D Surface Normal#Physics Torque r×F#Back-face Culling

const cross = (a:number[], b:number[]) => [a[1]*b[2]-a[2]*b[1], a[2]*b[0]-a[0]*b[2], a[0]*b[1]-a[1]*b[0]];

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