#G09 · 기하 · 삼각함수 (Geometry & Trig) · Lv.23D 마인드맵에서 보기
오일러 다면체 정리와 위상 불변량
레온하르트 오일러 (Leonhard Euler) · 1750년
구면과 위상동형인 모든 볼록 다면체에서 '꼭짓점(V) - 모서리(E) + 면(F) = 2' 가 항상 일정하다는 위상수학(Topology)과 그래프 이론의 기념비적 출발점입니다.
🧮 즉석 공식 계산기 & 그래프 플로터
꼭짓점 수 V
모서리 수 E
면의 수 F
오일러 지표 χ = V-E+F
2
구면 다면체 필요 면 F
20 (구면 일치)
모서리/꼭짓점 비 E/V
2.50
선수 개념 경로 (Prerequisite Path) (11 STEP)
전체 경로 분석기아래 순서대로 클릭하면 3D 네온 경로를 따라 기초부터 목표 공식까지 정복합니다.
STEP 1#A02곱셈공식과 인수분해 항등식
STEP 2#A03지수법칙과 거듭제곱근
STEP 3#G03원주율 π와 호도법(Radian)·부채꼴 공식
STEP 4#A01등식의 성질과 일차방정식
STEP 5#G01피타고라스 정리 (직각삼각형의 법칙)
STEP 6#A04이차방정식 근의 공식과 판별식
STEP 7#G04단위원 삼각함수와 피타고라스 항등식
STEP 8#G07이차곡선 (포물선·타원·쌍곡선) 방정식
STEP 9#G022D·3D 좌표공간 유클리드 거리 공식
STEP 10#G08구면좌표계 변환과 구의 부피·겉넓이
STEP 11#G09오일러 다면체 정리와 위상 불변량
기하학적·직관적 원리 해설
다면체에서 면 하나를 떼어내고 평면에 납작하게 펼친 뒤, 삼각형으로 쪼개거나 외곽 모서리를 하나씩 지워나가도 V - E + F 의 값은 절대 변하지 않고 끝내 2로 보존됩니다.
단계별 수식 유도 과정
- Step 1.1단계: 다면체의 한 면을 제거하여 평면 그래프로 펼치면 면의 수가 F-1 이 됩니다.
- Step 2.2단계: 다각형 면에 대각선을 하나 그으면 모서리 E가 1 늘고 면 F도 1 늘어 V - E + F 가 불변입니다.
- Step 3.3단계: 외곽 삼각형을 하나씩 제거해 마지막 점 1개(V=1, E=0, F=1 → 바깥면 포함 F=2)에 도달하면 V - E + F = 2
AI · 프로그래밍 실전 활용처
3D 모델링·게임 엔진 폴리곤 메쉬(Manifold Mesh) 무결성 검증 및 반도체 회로 평면 그래프 설계
#3D Mesh Topology#Graph Theory#CAD Manifold Check
const eulerChar = (V: number, E: number, F: number) => V - E + F;