#P05 · 概率統計與AI優化 (Probability & AI) · Lv.2在3D思維導圖中查看

二項分布與伯努利試驗

Jacob Bernoulli · 1713년

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad X \sim B(n, p)

E[X] = np, \quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)

描述在n次獨立伯努利試驗（成功概率為p）中恰好成功k次的概率分布，是A/B測試與離散模擬的基礎。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

試驗次數 n

成功次數 k

單次成功概率 p

P(X=4) = \binom{12}{4}(0.3)^{4}(0.70)^{8} = 23.11\%

확률 P(X = 4)

23.11%

기댓값 E[X] = np

3.60

표준편차 σ = √npq

1.59

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (8 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01排列與組合 (計數原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#P02條件概率與乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 6#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#P04數學期望與方差 (隨機變量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 8#P05二項分布與伯努利試驗

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

🚀 由此公式衍生的進階公式 (1)

#P06常態分布 (高斯分布) 與標準分數 Z

幾何與直觀原理解析

(p + q)^n을 이항정리로 전개했을 때 k번째 항이 곧 n번 중 k번 성공할 확률과 정확히 일치합니다.

分步公式推導過程

Step 1.특정 순서로 k번 성공하고 (n-k)번 실패할 확률은 독립성에 의해 p^k (1-p)^(n-k)입니다.
Step 2.n번의 시행 중 성공이 일어날 k개의 위치를 고르는 방법의 수는 조합 C(n, k)가지입니다.
Step 3.따라서 P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

AI與程式實戰應用

用於廣告點擊率(CTR) A/B測試、神經網路Dropout掩碼概率建模以及遊戲抽卡概率模擬。

#A/B Testing#Dropout Regularization#CTR Modeling#Game Gacha Math

const binomPMF = (n, k, p) => nCr(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);

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