#L07 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.3在3D思維導圖中查看

2D·3D旋轉矩陣與正交矩陣群 SO(3)

Leonhard Euler & Olinde Rodrigues · 1775년

R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ),R−1=RTR(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},\quad R^{-1} = R^T
det⁡(R)=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det(R) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

保持物體尺寸與夾角不變(det R = 1)的正交旋轉矩陣，其逆矩陣直接等於轉置矩陣(R⁻¹=Rᵀ)，是3D遊戲引擎與機器人姿態變換的核心。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器
原座標 x
原座標 y
旋轉角 θ°
(x′,y′)=(1.41,  4.24),det⁡R(45∘)=1(x', y') = (1.41,\; 4.24), \quad \det R(45^\circ) = 1
회전 후 좌표 (x', y')
(1.414, 4.243)
보존된 벡터 길이 ||v||
4.472
회전각 θ
45°
원본 vR(45°)v

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (15 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式
STEP 2#A03指數法則與根式運算
STEP 3#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化
STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)
STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式
STEP 6#A01等式性質與一元一次方程
STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式
STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理
STEP 9#L02向量點積(內積)與餘弦相似度
STEP 10#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量
STEP 11#G04單位圓三角函數與基本恆等式
STEP 12#L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)
STEP 13#G06三角函數和差角公式與二倍角公式
STEP 14#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式
STEP 15#L072D·3D旋轉矩陣與正交矩陣群 SO(3)

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#L09奇異值分解(SVD)與主成分分析(PCA)#L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

幾何與直觀原理解析

x축 기저벡터 (1, 0)을 θ만큼 회전시키면 (cos θ, sin θ)가 되어 1열에 들어가고, y축 기저벡터 (0, 1)을 θ만큼 회전시키면 (-sin θ, cos θ)가 되어 2열에 들어갑니다!

分步公式推導過程

  1. Step 1.1단계: 기저벡터 e₁=(1,0) 과 e₂=(0,1) 이 각도 θ 회전 후 이동한 좌표를 행렬의 열벡터로 배치합니다.
  2. Step 2.2단계: 임의의 점 (x, y) = x·e₁ + y·e₂ 에 선형성을 적용하면 x' = x cos θ - y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ
  3. Step 3.3단계: 행렬식 det(R) = cos²θ - (-sin²θ) = 1 이므로 넓이가 보존되며, R(-θ) = R(θ)^T = R(θ)⁻¹ 입니다.

AI與程式實戰應用

Three.js/Unreal/Unity 3D物體與相機旋轉變換及自動駕駛光達點雲配準(ICP)

#3D Engine Rotation#LiDAR Point Cloud#Orthogonal Matrix SO(3)
const rot2D = (x:number, y:number, r:number) => ({ x: x*Math.cos(r) - y*Math.sin(r), y: x*Math.sin(r) + y*Math.cos(r) });

線性代數 (Linear Algebra) — 同領域相關公式

向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化
Lv.1 · L1/L2 Regularization
#L01
向量點積(內積)與餘弦相似度
Lv.2 · LLM Self-Attention Q·K
#L02
三維向量叉積(外積)與表面法向量
Lv.2 · 3D Surface Normal
#L03
矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)
Lv.2 · GPU Tensor Cores GEMM
#L04
行列式(Determinant)與逆矩陣公式
Lv.3 · 3D Mouse Raycasting
#L05
高斯消去法與線性方程組求解 (Ax = b)
Lv.2 · Linear Solver Ax=b
#L06