#C02 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.2在3D思維導圖中查看

導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

Isaac Newton & Gottfried Wilhelm Leibniz · 1684년

f′(x)=dfdx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
ddx(xn)=nxn−1,ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

令步長h趨於0將割線平均變化率轉化為切線瞬時變化率，是物理學瞬時速度、函數極值分析與機器學習優化的基石。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器
切點 x₀
步長 h
f(2+0.5)−f(2)0.5=4.500→h→0f′(2)=4.000\frac{f(2+0.5)-f(2)}{0.5} = 4.500 \xrightarrow{h\to 0} f'(2) = 4.000
순간 접선 기울기 f'(2)
4.0000
할선 평균변화율 (Δx=0.5)
4.5000
근사 오차 |평균 - 순간|
0.5000

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (7 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式
STEP 2#A03指數法則與根式運算
STEP 3#A01等式性質與一元一次方程
STEP 4#A06對數運算法則與換底公式
STEP 5#A08二項式定理與帕斯卡三角形
STEP 6#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生
STEP 7#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

🚀 由此公式衍生的進階公式 (5)

#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開#C08偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)#C10常微分方程與阻尼諧振子 (物理引擎·擴散模型)

幾何與直觀原理解析

곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)에서 두 점을 한없이 가깝게 모으면, 곡선에 스치듯 닿는 단 하나의 접선이 되며 그 기울기가 바로 도함수 f'(x)입니다.

分步公式推導過程

  1. Step 1.1단계: f(x) = x^n 일 때 이항정리에 의해 f(x+h) = x^n + n·x^(n-1)h + O(h²) 입니다.
  2. Step 2.2단계: 차분몫 (f(x+h) - f(x)) / h = n·x^(n-1) + O(h) 를 구합니다.
  3. Step 3.3단계: h → 0 극한을 취하면 고차항 O(h)가 사라져 (x^n)' = n·x^(n-1) 이 증명됩니다.

AI與程式實戰應用

遊戲物理引擎速度/加速度數值微分與深度學習損失函數切線斜率計算

#Numerical Differentiation#Physics Velocity#Optimization Extremum
const diff = (f: (x:number)=>number, x: number, h = 1e-5) => (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);

微積分與分析學 (Calculus) — 同領域相關公式

極限的定義與自然常數 e 的誕生
Lv.2 · Sigmoid & Softmax
#C01
乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)
Lv.3 · Deep Learning Backprop
#C03
微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)
Lv.3 · Physics RK4 Integrator
#C04
換元積分法與分部積分法
Lv.3 · FEM Physics Sim
#C05
泰勒級數與麥克勞林多項式展開
Lv.4 · XGBoost 2nd-Order Loss
#C06
歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)
Lv.4 · LLM RoPE e^(imθ)
#C07