#C05 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.3在3D思維導圖中查看

換元積分法與分部積分法

Brook Taylor & Johann Bernoulli · 1715년

\int u\,dv = uv - \int v\,du,\quad \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

(uv)' = u'v + uv' \implies uv' = (uv)' - u'v

作為鏈式法則與乘積法則的逆運算，換元積分與分部積分是求解傅立葉變換積分、伽瑪函數與有限元法(FEM)弱形式的核心工具。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

上限 x

\int_0^{2} t e^t\,dt = \Big[(t-1)e^t\Big]_0^{2} = (1)e^{2} + 1 = 8.3891

정적분 ∫₀^2 t·e^t dt

8.3891

부정적분 (x-1)e^x

7.3891

피적분함수 x·e^x

14.7781

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (11 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 9#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 10#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 11#C05換元積分法與分部積分法

\int u\

🚀 由此公式衍生的進階公式 (1)

#C09傅立葉級數與傅立葉變換 (時域↔頻域)

幾何與直觀原理解析

가로 u, 세로 v인 직사각형 넓이 uv의 변화량은 ∫ u dv + ∫ v du 와 같습니다. 따라서 미분하기 쉬운 함수 u와 적분하기 쉬운 함수 dv로 나누면 어려운 적분 ∫ u dv 를 쉬운 적분 ∫ v du 로 바꿀 수 있습니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 곱의 미분법 d(uv) = u dv + v du 를 세웁니다.
Step 2.2단계: 이항하여 정리하면 u dv = d(uv) - v du 가 됩니다.
Step 3.3단계: 양변을 적분하면 ∫ u dv = uv - ∫ v du 부분적분 공식이 완성됩니다.

AI與程式實戰應用

工程物理模擬有限元分析(FEM弱形式推導)與傅立葉/拉普拉斯變換微分性質證明

#FEM Physics Sim#Fourier Transform Proof#Signal Laplace

const intXeX = (x: number) => (x - 1) * Math.exp(x) + 1; // ∫_0^x t*e^t dt

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