#C09 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.5在3D思維導圖中查看

傅立葉級數與傅立葉變換 (時域↔頻域)

Joseph Fourier, Cooley & Tukey · 1822년

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega

將任意複雜的時域信號分解為不同頻率正弦波(e^-iωt)的疊加，是現代5G/Wi-Fi通信、MP3音訊、JPEG影像壓縮、MRI核磁共振與語音辨識AI的支柱。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

基頻 ω₁

諧波頻率 ω₂

諧波振幅 A₂

f(t) = \sin(1t) + 0.4\sin(3t), \quad E = 1^2 + 0.4^2 = 1.16

파르세발 에너지 ∑A_k²

1.1600

기본파 ω₁=1 비중

86.2%

고조파 ω₂=3 진폭

0.40

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (22 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 6#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 8#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 9#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 10#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 11#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 12#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 14#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 15#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 16#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 17#G06三角函數和差角公式與二倍角公式

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 18#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 19#C05換元積分法與分部積分法

\int u\

STEP 20#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 21#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 22#C09傅立葉級數與傅立葉變換 (時域↔頻域)

\hat{f}(\omega) = \int_{-infty}^{\infty} f(t)\

幾何與直觀原理解析

과일 스무디(복합 파동 f(t))를 마시고 그 안에 딸기·바나나·망고(주파수 ω 성분)가 각각 몇 그램씩 들어있는지 레시피(스펙트럼 f̂(ω))를 정확히 역추적해 내는 수학적 프리즘입니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 서로 다른 주파수의 삼각함수(또는 복소지수 e^(iωt))는 한 주기 적분 시 내적이 0이 되는 직교성(Orthogonality)을 가집니다.
Step 2.2단계: 신호 f(t)에 e^(-iωt) 를 곱해 전체 시간 구간에서 정적분하면, 주파수 ω와 일치하는 공명 성분만 살아남고 나머지는 상쇄됩니다.
Step 3.3단계: 이로써 시간 영역 신호 f(t)가 주파수 영역 스펙트럼 f̂(ω)로 변환됩니다.

AI與程式實戰應用

AI語音辨識(Whisper梅爾頻譜圖)、MP3/JPEG有損壓縮、5G/Wi-Fi正交頻分複用與MRI醫學成像

#Audio AI Spectrogram#5G/Wi-Fi OFDM#JPEG/MP3 Compression

const dftBin = (sig: number[], k: number) => sig.reduce((s, x, n) => s + x * Math.cos(2*Math.PI*k*n/sig.length), 0);

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