#C08 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.3在3D思維導圖中查看

偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)

Euler, Hamilton & Lagrange · 1846년

∇f=(∂f∂x1,∂f∂x2,…,∂f∂xn)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)
Duf=∇f⋅u,Δf=∇2fD_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u},\quad \Delta f = \nabla^2 f

將多元函數對各個變數的偏導數合成為梯度向量∇f，永遠指向高維曲面上函數值增長最陡峭的方向。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器
座標 x
座標 y
f(x,y)=x2+2y2  ⟹  ∇f(2,1.5)=(4.0,  6.0)f(x,y)=x^2+2y^2 \implies \nabla f(2,1.5) = (4.0,\; 6.0)
그래디언트 ∇f = (2x, 4y)
(4.0, 6.0)
최대 경사 크기 ||∇f||
7.211
경사하강 방향 -∇f
(-4.0, -6.0)
P(2,1.5)∇f

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (12 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式
STEP 2#A03指數法則與根式運算
STEP 3#A01等式性質與一元一次方程
STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)
STEP 5#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化
STEP 6#A06對數運算法則與換底公式
STEP 7#A08二項式定理與帕斯卡三角形
STEP 8#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生
STEP 9#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式
STEP 10#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)
STEP 11#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)
STEP 12#C08偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#P08皮爾遜相關係數與最小二乘線性回歸 (OLS)#P10Softmax函數與隨機梯度下降 (SGD)

幾何與直觀原理解析

안개 낀 산에서 가장 빨리 정상으로 올라가려면 발밑의 x축 경사(∂f/∂x)와 y축 경사(∂f/∂y)를 합친 벡터 ∇f 방향으로 걸으면 되고, 가장 빨리 골짜기(오차 최소점)로 내려가려면 반대 방향 -∇f 로 걸으면 됩니다!

分步公式推導過程

  1. Step 1.1단계: 다변수 함수 f(x, y)에서 y를 상수로 고정하고 x에 대해서만 미분한 값을 편미분 ∂f/∂x 라 합니다.
  2. Step 2.2단계: 단위벡터 u 방향으로의 방향도함수는 연쇄법칙에 의해 D_u f = (∂f/∂x)u_x + (∂f/∂y)u_y = ∇f · u 입니다.
  3. Step 3.3단계: 내적 공식 ∇f · u = ‖∇f‖ cos θ 에 의해 θ = 0° (즉 u가 ∇f와 같은 방향)일 때 변화율이 최대가 됩니다.

AI與程式實戰應用

百億參數大模型梯度下降(-∇L)訓練與電腦視覺影像邊緣檢測(Sobel算子)

#Gradient Descent -∇L#Computer Vision Sobel#Physics Field ∇
const grad2D = (a:number, b:number, x:number, y:number) => ({ gx: 2*a*x, gy: 2*b*y });

微積分與分析學 (Calculus) — 同領域相關公式

極限的定義與自然常數 e 的誕生
Lv.2 · Sigmoid & Softmax
#C01
導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)
Lv.2 · Numerical Differentiation
#C02
乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)
Lv.3 · Deep Learning Backprop
#C03
微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)
Lv.3 · Physics RK4 Integrator
#C04
換元積分法與分部積分法
Lv.3 · FEM Physics Sim
#C05
泰勒級數與麥克勞林多項式展開
Lv.4 · XGBoost 2nd-Order Loss
#C06