#L10 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.5在3D思維導圖中查看

四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

William Rowan Hamilton · 1843년

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2},\quad i^2=j^2=k^2=ijk=-1

\mathbf{p}' = q\,\mathbf{p}\,q^{-1},\quad \operatorname{Slerp}(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1-t)\Omega)}{\sin\Omega}q_1 + \frac{\sin(t\Omega)}{\sin\Omega}q_2

將複數擴展至四維超複數空間，徹底消除歐拉角旋轉的萬向節死鎖(Gimbal Lock)，並透過SLERP實現最平滑的3D姿態插值。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

3D旋轉角 θ°

旋轉軸 uz

\mathbf{q} = 0.707 + 0.000\mathbf{i} + 0.707\mathbf{k} \quad (\|\mathbf{q}\|=1)

스칼라부 w = cos(θ/2)

0.7071

벡터부 (qx, qz)

(0.000, 0.707)

단위 노름 ||q||

1.0000

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (26 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 8#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 10#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 11#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 12#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 14#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 15#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 16#L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 17#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 18#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 19#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 20#G06三角函數和差角公式與二倍角公式

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

STEP 21#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式

\det(A) = ad - bc

STEP 22#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 23#L072D·3D旋轉矩陣與正交矩陣群 SO(3)

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

STEP 24#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 25#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 26#L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

q = \cos\frac{\theta}{2} + (u_x i + u_y j + u_z k)\sin\frac{\theta}{2}

幾何與直觀原理解析

2D 평면 회전을 복소수 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 로 표현했듯, 3D 공간에서 단위 회전축 u = (u_x, u_y, u_z) 둘레로 θ만큼 회전하는 것은 q · p · q⁻¹ 양쪽 곱셈 때문에 반각(θ/2)을 쓰는 4차원 단위 사원수가 됩니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 해밀턴이 더블린 브로엄 다리에 새긴 기본 관계식 i² = j² = k² = ijk = -1 로부터 ij = k, ji = -k (외적 성질)가 도출됩니다.
Step 2.2단계: 회전축 단위벡터 u 에 대해 단위 사원수 q = cos(θ/2) + u sin(θ/2) 를 구성합니다.
Step 3.3단계: 3D 점 p를 순허수 사원수로 보고 q p q⁻¹ 을 계산하면, 축 u 에 수직인 성분이 정확히 θ/2 + θ/2 = θ 만큼 회전합니다.

AI與程式實戰應用

Three.js/Unity/Unreal骨骼動畫平滑插值(SLERP)與無人機/太空船防萬向節死鎖姿態控制

#Three.js Quaternion#Gimbal Lock Free#Aerospace Attitude

const quatFromAxisZ = (rad: number) => ({ w: Math.cos(rad/2), x: 0, y: 0, z: Math.sin(rad/2) });

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