#C10 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.4在3D思維導圖中查看

常微分方程與阻尼諧振子 (物理引擎·擴散模型)

Newton, Euler & d'Alembert · 1743년

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0,\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

x(t) = A e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \phi),\quad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

聯立位置、速度與加速度求解系統演化軌跡，廣泛驅動著遊戲物理彈簧阻尼、UI彈性動畫與最新AI影像生成擴散模型(Diffusion ODE)。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

質量 m

阻尼係數 c

剛度係數 k

\omega_0 = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2.00, \; \zeta = 0.15 \implies x(t) = e^{-0.30t}\cos(1.98t)

고유 각진동수 ω₀ = √(k/m)

2.000 rad/s

감쇠비 ζ = c / (2√mk)

0.150 (부족감쇠 진동)

진동 주기 T = 2π/ω_d

3.18 s

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (17 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 3#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 5#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 7#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 10#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 11#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 12#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 13#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 14#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 15#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 16#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

STEP 17#C10常微分方程與阻尼諧振子 (物理引擎·擴散模型)

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

幾何與直觀原理解析

해 x(t) = e^(λt) 를 대입하면 미분방정식이 이차방정식 mλ² + cλ + k = 0 (특성방정식)으로 바뀝니다! 판별식 D < 0 이면 복소수 근이 나와 오일러 공식에 의해 진동하면서 서서히 멈추는 파동이 됩니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 뉴턴 제2법칙 F = ma 에 복원력 -kx 와 마찰 감쇠력 -c(dx/dt) 를 대입합니다.
Step 2.2단계: x(t) = e^(λt) 를 대입하면 특성방정식 mλ² + cλ + k = 0 을 얻습니다.
Step 3.3단계: 근의 공식과 오일러 공식을 적용하면 감쇠비 ζ에 따라 부족감쇠(진동)·임계감쇠·과감쇠 해가 도출됩니다.

AI與程式實戰應用

生成式AI擴散模型(Diffusion ODE求解器)、React-Spring彈簧UI動畫與機器人阻抗控制

#Diffusion AI ODE#Spring Physics UI#Control Engineering

const zeta = c / (2 * Math.sqrt(m * k)); const w0 = Math.sqrt(k / m);

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