#L03 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.2在3D思維導圖中查看

三維向量叉積(外積)與表面法向量

William Rowan Hamilton & J. W. Gibbs · 1843년

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)

\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta,\quad (\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \perp \mathbf{a}, \mathbf{b}

生成同時垂直於兩個輸入向量的三維法向量(遵循右手定則)，其模長等於兩向量所張成的平行四邊形面積。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

分量 a_x

分量 a_y

分量 b_x

分量 b_y

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (0,\; 0,\; 2\cdot3 - 0\cdot0) = (0,\; 0,\; 6.0)

법선 벡터 a×b (z성분)

(0, 0, 6.00)

평행사변형 넓이 ||a×b||

6.000

삼각형 폴리곤 넓이 (½)

3.000

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (11 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 6#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式 #L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

幾何與直觀原理解析

오른손 네 손가락을 벡터 a에서 b로 감아쥐었을 때 엄지손가락이 가리키는 수직 방향이 바로 a × b 입니다. 3D 모델의 세 꼭짓점으로 만든 두 변을 외적하면 빛을 반사할 표면의 방향(법선벡터)이 즉시 구해집니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 미지의 벡터 n = (x, y, z) 가 a·n = 0 및 b·n = 0 (두 벡터 모두와 수직)을 만족하도록 연립방정식을 세웁니다.
Step 2.2단계: 행렬식 기호를 사용해 i(a_y b_z - a_z b_y) - j(a_x b_z - a_z b_x) + k(a_x b_y - a_y b_x) 를 도출합니다.
Step 3.3단계: 라그랑주 항등식 ‖a×b‖² + (a·b)² = ‖a‖²‖b‖² 에 cos²θ + sin²θ = 1 을 대입하면 ‖a×b‖ = ‖a‖‖b‖sin θ

AI與程式實戰應用

3D網格三角形表面法線計算、背面剔除(Back-face Culling)與物理引擎剛體扭矩(τ=r×F)

#3D Surface Normal#Physics Torque r×F#Back-face Culling

const cross = (a:number[], b:number[]) => [a[1]*b[2]-a[2]*b[1], a[2]*b[0]-a[0]*b[2], a[0]*b[1]-a[1]*b[0]];

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