#G02 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思維導圖中查看

二維與三維空間歐幾里得距離公式

René Descartes · 1637년

d(P, Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

\|P - Q\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2}

透過笛卡兒解析幾何將幾何點映射為座標(x,y,z)，連續應用畢氏定理計算三維及n維空間兩點間的直線距離。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

位移 Δx

位移 Δy

位移 Δz

d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2} = 13.000

3D 거리 d (L₂)

13.0000

2D 바닥 투영 거리

5.0000

맨해튼 거리 L₁

19.0

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (5 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

🚀 由此公式衍生的進階公式 (6)

#G06三角函數和差角公式與二倍角公式 #G07圓錐曲線 (拋物線·橢圓·雙曲線) 方程 #G08球座標系轉換與球的體積·表面積 #G09歐拉多面體公式與拓撲不變量 #G10貝茲曲線 (Bézier Curve) 參數方程 #L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

幾何與直觀原理解析

직육면체 상자의 바닥 대각선 길이 제곱은 Δx² + Δy² 이고, 여기에 높이 Δz² 을 한 번 더 피타고라스 정리로 더하면 3차원 공간 대각선 길이 √(Δx² + Δy² + Δz²) 이 됩니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: xy평면 투영 거리 d_xy² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² 을 피타고라스 정리로 구합니다.
Step 2.2단계: 바닥 대각선 d_xy 와 수직 높이 (z₂ - z₁) 이 이루는 직각삼각형에 다시 피타고라스 정리를 적용합니다.
Step 3.3단계: d² = d_xy² + (z₂ - z₁)² = Δx² + Δy² + Δz² 이므로 제곱근을 취해 거리를 얻습니다.

AI與程式實戰應用

機器學習KNN分類、K-Means聚類距離度量與3D遊戲A*尋路演算法啟發式函數

#K-Means & KNN ML#A* Pathfinding#3D Spatial Query

const dist3D = (dx: number, dy: number, dz: number) => Math.hypot(dx, dy, dz);

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