#G07 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思維導圖中查看

圓錐曲線 (拋物線·橢圓·雙曲線) 方程

Apollonius & Johannes Kepler · 公元前 200 年

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}

y^2 = 4px \;(\text{Parabola}),\quad \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \;(\text{Hyperbola})

平面截圓錐所得的拋物線、橢圓與雙曲線方程，精確支配著行星與人造衛星克卜勒軌道、拋物面天線聚焦及凸優化等高線。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

長半軸 a

短半軸 b

c = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.00, \quad e = \frac{c}{a} = 0.800

Eccentricity e

0.8000

Focal Distance ±c

±4.000

Ellipse Area πab

47.12

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (7 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 6#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 7#G07圓錐曲線 (拋物線·橢圓·雙曲線) 方程

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#G08球座標系轉換與球的體積·表面積 #G10貝茲曲線 (Bézier Curve) 參數方程

幾何與直觀原理解析

두 초점 F, F' 으로부터의 거리 합이 2a로 일정한 점들의 자취가 타원입니다. 두 초점이 하나로 합쳐지면(이심률 e=0) 완벽한 원이 됩니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0) 으로부터 거리의 합이 2a 인 점 P(x, y) 의 방정식을 세웁니다.
Step 2.2단계: √((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a 의 양변을 제곱하여 근호를 정리합니다.
Step 3.3단계: b² = a² - c² 으로 치환하면 x²/a² + y²/b² = 1 표준형 방정식이 도출됩니다.

AI與程式實戰應用

人造衛星克卜勒橢圓軌道模擬與機器學習多維高斯協方差橢圓(馬氏距離等高線)

#Kepler Orbit Sim#Mahalanobis Ellipse#Antenna Optics

const eccentricity = (a: number, b: number) => Math.sqrt(1 - (b*b)/(a*a));

幾何與三角函數 (Geometry & Trig) — 同領域相關公式

畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

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