#L06 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.2在3D思維導圖中查看

高斯消去法與線性方程組求解 (Ax = b)

Nine Chapters, Gauss & Gabriel Cramer · 1750년

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

[A \mid \mathbf{b}] \xrightarrow{\text{RREF}} [I \mid \mathbf{x}]

透過初等行變換(高斯消去法)與克拉瑪法則系統求解大型線性方程組 Ax = b，是工程模擬與科學計算的基礎演算法。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

係數 a₁

常數 c₁

係數 a₂

常數 c₂

\begin{cases}2x + y = 5\\ 1x - y = 1\end{cases} \implies (x, y) = (2.00,\; 1.00)

연립방정식 교점 해 (x, y)

(2.00, 1.00)

계수 행렬식 det(A)

-3.00

행렬 랭크 rank(A)

2 (유일해)

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (14 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式

\det(A) = ad - bc

STEP 14#L06高斯消去法與線性方程組求解 (Ax = b)

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

幾何與直觀原理解析

2차원 평면에서 두 일차방정식은 두 개의 직선이며, 연립방정식의 해 (x, y)는 두 직선이 교차하는 단 하나의 교점입니다. 두 직선이 평행하면(det(A)=0) 교점이 없거나 무수히 많습니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 연립방정식 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ 를 행렬 형태 Ax = b 로 표기합니다.
Step 2.2단계: 첫째 식에 b₂를 곱하고 둘째 식에 b₁을 곱해 빼면 y가 소거되어 (a₁b₂ - b₁a₂)x = c₁b₂ - b₁c₂
Step 3.3단계: det(A) = a₁b₂ - b₁a₂ ≠ 0 일 때 x = det(A_x)/det(A), y = det(A_y)/det(A) 로 해가 구해집니다.

AI與程式實戰應用

SPICE電路模擬器、結構力學有限元求解器與最小二乘正規方程(A^T A x = A^T b)求解

#Linear Solver Ax=b#SPICE Circuit Sim#Normal Equations

const det = a1*b2 - b1*a2; const x = (c1*b2 - b1*c2)/det; const y = (a1*c2 - c1*a2)/det;

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