#P08 · 概率統計與AI優化 (Probability & AI) · Lv.3在3D思維導圖中查看

皮爾遜相關係數與最小二乘線性回歸 (OLS)

Francis Galton, Karl Pearson & Carl Friedrich Gauss · 1895년

r_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}, \quad \hat{\beta}_1 = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(X)} = r_{XY}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}

\hat{y} = \hat{\beta}_1 x + \hat{\beta}_0, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}

度量兩個變量線性相關強度（-1≤r≤1）的皮爾遜相關係數，以及最小化殘差平方和的最小二乘回歸直線公式。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

協方差 Cov(X,Y)

標準差 σ_X

標準差 σ_Y

r = \frac{18}{5\times 4.5} = 0.800, \quad \hat{\beta}_1 = 0.720

피어슨 상관계수 r

0.8000

결정계수 R² (설명력)

64.0%

회귀 기울기 β̂₁

0.7200

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (20 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 2#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 3#P01排列與組合 (計數原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 4#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 5#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 8#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 9#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 11#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 12#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 13#P02條件概率與乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 14#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 15#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 16#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 17#P04數學期望與方差 (隨機變量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 18#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

STEP 19#C08偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}

STEP 20#P08皮爾遜相關係數與最小二乘線性回歸 (OLS)

r_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X

幾何與直觀原理解析

중심화한 데이터 벡터의 내적(코사인 유사도)이 곧 피어슨 상관계수 r이며, 잔차 제곱합을 미분해 0으로 두면 회귀 기울기가 유도됩니다.

分步公式推導過程

Step 1.손실함수 L(β₀, β₁) = ∑(y_i - (β₁x_i + β₀))²을 β₀, β₁에 대해 각각 편미분하여 0으로 둡니다.
Step 2.∂L/∂β₀ = 0에서 회귀직선이 반드시 무게중심 (x̄, ȳ)를 지남을 얻습니다: β₀ = ȳ - β₁x̄.
Step 3.∂L/∂β₁ = 0을 정리하면 β₁ = Cov(X,Y) / Var(X) = r (σ_Y / σ_X)가 도출됩니다.

AI與程式實戰應用

機器學習監督學習線性回歸預測器、量化金融投資組合Beta係數以及特徵相關性分析的基石。

#Linear Regression#Supervised ML#Quant Finance Beta#Feature Engineering

const slope = covXY / varX; const intercept = meanY - slope * meanX; const r = covXY / Math.sqrt(varX * varY);

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