#G06 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.3在3D思維導圖中查看
三角函數和差角公式與二倍角公式
Claudius Ptolemy · 150년
將兩角和差的三角函數展開為單角三角函數乘積，是推導三角函數導數、二維旋轉矩陣乘法與通信混頻調變的基石。
🧮 即時公式計算器與圖形繪製器
角度 α°
角度 β°
sin(α+β) = sin(75°)
0.9659
cos(α+β) = cos(75°)
0.2588
배각 sin(2α)
1.0000
先修概念路徑 (Prerequisite Path) (9 STEP)
完整路徑分析按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。
STEP 1#A01等式性質與一元一次方程
STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式
STEP 3#A03指數法則與根式運算
STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)
STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式
STEP 6#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式
STEP 7#G04單位圓三角函數與基本恆等式
STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理
STEP 9#G06三角函數和差角公式與二倍角公式
🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)
幾何與直觀原理解析
단위원 위의 두 점 P(cos α, sin α)와 Q(cos β, sin β) 사이의 거리를 유클리드 거리 공식으로 구한 값과, 끼인각 (α-β)에 대해 제2코사인법칙으로 구한 값을 같다고 놓으면 즉시 증명됩니다.
分步公式推導過程
- Step 1.1단계: 단위원 위 두 점 A(cos α, sin α), B(cos β, sin β) 사이의 거리 제곱은 (cos α - cos β)² + (sin α - sin β)² = 2 - 2(cos α cos β + sin α sin β)
- Step 2.2단계: 한편 원점과 두 점 A, B가 이루는 삼각형에서 제2코사인법칙을 쓰면 AB² = 1² + 1² - 2·1·1·cos(α - β) = 2 - 2cos(α - β)
- Step 3.3단계: 두 식을 비교하면 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 가 성립합니다.
AI與程式實戰應用
推導2D/3D旋轉矩陣複合運算 R(α)R(β)=R(α+β) 與5G無線通信正交調幅(QAM)解調
#Rotation Matrix Proof#5G QAM Modulation#Audio DSP
const sinAdd = (a: number, b: number) => Math.sin(a)*Math.cos(b) + Math.cos(a)*Math.sin(b);