#P06 · 概率統計與AI優化 (Probability & AI) · Lv.3在3D思維導圖中查看

常態分布 (高斯分布) 與標準分數 Z

Carl Friedrich Gauss & Abraham de Moivre · 1809년

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, \quad P(|Z|\le 1.96) \approx 0.95

支配自然界測量誤差與統計數據的鐘形連續概率分布，僅由均值 μ 和標準差 σ 完全決定。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

觀測值 x

均值 μ

標準差 σ

Z = \frac{115 - 100}{15} = 1.000, \quad P(X \le 115) = 84.13\%

표준화 점수 Z-Score

+1.000σ

누적확률 P(X ≤ x)

84.13%

상위 백분위 Top %

15.87%

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (14 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#P01排列與組合 (計數原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 5#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 6#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#P02條件概率與乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 10#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 11#P04數學期望與方差 (隨機變量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

STEP 12#P05二項分布與伯努利試驗

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

STEP 13#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 14#P06常態分布 (高斯分布) 與標準分數 Z

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

🚀 由此公式衍生的進階公式 (1)

#P07中央極限定理 (CLT) 與信賴區間

幾何與直觀原理解析

평균에서 멀어질수록 확률밀도가 e^(-z²/2)의 속도로 급격히 감소하며, ±1σ 안에 약 68.3%, ±2σ 안에 약 95.4%의 데이터가 들어옵니다.

分步公式推導過程

Step 1.가우스 적분 ∫_{-∞}^{∞} e^(-t²/2) dt = √(2π)를 정규화 상수로 사용해 전체 면적을 1로 맞춥니다.
Step 2.표준화 변수 Z = (X - μ)/σ로 치환하면 어떤 정규분포든 평균 0, 분산 1인 표준정규분포 N(0,1)로 변환됩니다.

AI與程式實戰應用

圖像生成擴散模型(Diffusion)高斯噪聲調度、變分自編碼器(VAE)潛空間以及3D高斯潑濺(3DGS)的核心公式。

#Diffusion Models#3D Gaussian Splatting#VAE Latent Space#Anomaly Detection

const normalPDF = (x, mu, sig) => Math.exp(-0.5 * ((x - mu) / sig) ** 2) / (sig * Math.sqrt(2 * Math.PI));

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