#L05 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.3在3D思維導圖中查看

行列式(Determinant)與逆矩陣公式

Seki Kowa, Leibniz & Cauchy · 1683년

\det(A) = ad - bc,\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

AA^{-1} = I,\quad \det(AB) = \det(A)\det(B)

行列式det(A)度量線性變換對空間面積/體積的縮放倍率，當det(A)≠0時可透過逆矩陣A⁻¹將變換完全復原。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

元素 a

元素 b

元素 c

元素 d

\det(A) = (3)(4) - (1)(2) = 10.00

행렬식 det(A) = ad-bc

10.0000

역행렬 존재 여부

가역 (Invertible)

A⁻¹의 (1,1) 성분 d/det

0.400

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (13 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 6#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 13#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式

\det(A) = ad - bc

🚀 由此公式衍生的進階公式 (3)

#L06高斯消去法與線性方程組求解 (Ax = b)#L072D·3D旋轉矩陣與正交矩陣群 SO(3)#L08特徵值(Eigenvalue)與特徵向量方程

幾何與直觀原理解析

가로·세로가 1인 단위 정사각형에 행렬 A를 곱하면 두 열벡터 (a, c)와 (b, d)가 만드는 평행사변형으로 변형되는데, 그 넓이가 정확히 ad - bc 입니다! 넓이가 0이 되어 선분으로 찌그러지면 다시 정사각형으로 복구(역행렬)할 수 없습니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 2×2 행렬 A의 두 열벡터 (a, c, 0)과 (b, d, 0)의 외적 z성분(평행사변형 부호 넓이)은 ad - bc 입니다.
Step 2.2단계: A · [[d, -b], [-c, a]] 를 행렬 곱셈하면 대각선은 ad - bc, 비대각선은 0이 됩니다.
Step 3.3단계: 따라서 ad - bc ≠ 0 일 때 양변을 (ad - bc)로 나누면 AA⁻¹ = I 를 만족하는 역행렬이 유도됩니다.

AI與程式實戰應用

3D遊戲滑鼠點擊射線拾取逆投影(MVP⁻¹)與生成式AI流模型(Normalizing Flows)雅可比行列式

#3D Mouse Raycasting#Jacobian Determinant#Normalizing Flows

const det2 = (a:number, b:number, c:number, d:number) => a * d - b * c;

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