#L08 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.4在3D思維導圖中查看

特徵值(Eigenvalue)與特徵向量方程

Augustin-Louis Cauchy & David Hilbert · 1829년

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A),\quad \prod \lambda_i = \det(A)

尋找在矩陣A線性變換下方向保持不變、僅發生λ倍伸縮的固有主軸(特徵向量v)與縮放因子(特徵值λ)，是線性代數的皇冠明珠。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

元素 A₁₁

非對角 b

元素 A₂₂

\lambda^2 - 5.0\lambda + (0.0) = 0 \implies \lambda_1 = 5.00, \; \lambda_2 = 0.00

제1 고윳값 λ₁ (주성분)

5.0000

제2 고윳값 λ₂

0.0000

대각합 tr(A) = λ₁+λ₂

5.00

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (16 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 2#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 3#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 4#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 5#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 6#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 8#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 9#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 10#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

STEP 11#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y

STEP 12#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 13#A05韋達定理 (根與係數的關係)

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

STEP 14#L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

STEP 15#L05行列式(Determinant)與逆矩陣公式

\det(A) = ad - bc

STEP 16#L08特徵值(Eigenvalue)與特徵向量方程

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff \det(A - \lambda I) = 0

🚀 由此公式衍生的進階公式 (1)

#L09奇異值分解(SVD)與主成分分析(PCA)

幾何與直觀原理解析

지구본을 회전시킬 때 북극과 남극을 잇는 자전축 위의 점들은 회전 후에도 방향이 바뀌지 않고 제자리에 머무릅니다. 이처럼 선형변환의 본질적인 '뼈대 축'을 찾아내는 것이 고윳값 분해입니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: Av = λv 를 이항하여 (A - λI)v = 0 으로 정리합니다.
Step 2.2단계: 영벡터가 아닌 해 v ≠ 0 가 존재하려면 행렬 (A - λI)가 역행렬을 갖지 않아야 하므로 특성방정식 det(A - λI) = 0 이 성립해야 합니다.
Step 3.3단계: 2×2 행렬의 경우 λ² - tr(A)λ + det(A) = 0 을 근의 공식으로 풀어 고윳값 λ₁, λ₂ 를 구합니다.

AI與程式實戰應用

Google搜尋PageRank網頁排名演算法、量子力學薛丁格定態方程(Hψ=Eψ)與橋樑共振模態分析

#Google PageRank#Quantum Mechanics Hψ=Eψ#Spectral Graph Theory

const tr = a + d; const det = a*d - b*c; const l1 = (tr + Math.sqrt(tr*tr - 4*det))/2;

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