#C06 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.4在3D思維導圖中查看

泰勒級數與麥克勞林多項式展開

Brook Taylor & Colin Maclaurin · 1715년

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

僅憑函數在某一點的各階導數即可將任意光滑超越函數(e^x, sin x, cos x)精確展開為無窮冪級數，是數值計算與歐拉公式的基石。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

輸入 x (rad)

展開項數 N

P_{3}(1.2) = \sum_{k=0}^{3} \frac{1.2^k}{k!} = 3.20800 \; (e^{1.2} = 3.32012)

3차 테일러 다항 근사

3.208000

실제 초월함수 e^(1.2)

3.320117

절단 오차 |R_N|

1.12e-1

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (10 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 8#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 9#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 10#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)#P07中央極限定理 (CLT) 與信賴區間

幾何與直觀原理解析

덧셈·곱셈밖에 할 줄 모르는 컴퓨터가 어떻게 sin(x)나 e^x 를 계산할까요? 바로 테일러 급수를 통해 초월함수를 다항식(x - x³/6 + x⁵/120…)으로 바꾸어 사칙연산만으로 계산하는 것입니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 다항식 P(x) = c₀ + c₁(x-a) + c₂(x-a)² + c₃(x-a)³ + … 이 x=a 에서 f(x)와 모든 n차 미분계수가 같도록 설정합니다.
Step 2.2단계: k번 미분한 뒤 x=a 를 대입하면 f^(k)(a) = k! · c_k 가 되므로 계수는 c_k = f^(k)(a) / k! 입니다.
Step 3.3단계: a=0 인 매클로린 급수에 e^x, sin x, cos x 의 미분값을 넣으면 각각의 멱급수가 도출됩니다.

AI與程式實戰應用

CPU/GPU超越函數底層快速近似與XGBoost梯度提升樹二階泰勒展開優化

#XGBoost 2nd-Order Loss#CPU/GPU Fast Math#Physics Linearization

const sinTaylor = (x: number) => x - (x**3)/6 + (x**5)/120 - (x**7)/5040;

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