#G08 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.3在3D思維導圖中查看

球座標系轉換與球的體積·表面積

Archimedes & Leonhard Euler · 公元前 225 年

V = \frac{4}{3}\pi r^3,\quad A = 4\pi r^2 = \frac{dV}{dr}

(x, y, z) = (r\sin\phi\cos\theta,\; r\sin\phi\sin\theta,\; r\cos\phi)

揭示球體積求導即表面積的優美關係，並將球面經緯度(r,θ,φ)無縫轉換為三維直角座標(x,y,z)。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

半徑 r

方位角 θ°

極角 φ°

V = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = 523.6, \; P(x,y,z) = (3.06, 3.06, 2.50)

Volume V

523.60

Surface Area A

314.16

3D Coord (x,y,z)

(3.1, 3.1, 2.5)

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (10 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 6#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 8#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 9#G07圓錐曲線 (拋物線·橢圓·雙曲線) 方程

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

STEP 10#G08球座標系轉換與球的體積·表面積

V = \frac{4}{3}\pi r^3

🚀 由此公式衍生的進階公式 (1)

#G09歐拉多面體公式與拓撲不變量

幾何與直觀原理解析

양파 껍질처럼 두께 dr 인 얇은 구면 껍질(넓이 4πr²)들을 r = 0 부터 R 까지 겹겹이 적분하여 쌓으면 구의 부피 ∫ 4πr² dr = (4/3)πR³ 이 됩니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 천정각 φ에 대해 z축 높이는 z = r cos φ 이고, xy평면에 투영된 반지름은 ρ = r sin φ 입니다.
Step 2.2단계: 방위각 θ에 대해 x = ρ cos θ = r sin φ cos θ, y = ρ sin θ = r sin φ sin θ 로 분해됩니다.
Step 3.3단계: 구의 단면적 π(r² - z²) 을 z = -r 부터 r 까지 적분하면 V = (4/3)πr³ 이 도출됩니다.

AI與程式實戰應用

3D地球儀360°全景紋理映射、Three.js相機環繞控制(OrbitControls)與量子力學球諧函數

#3D Globe Mapping#OrbitControls Camera#Spherical Harmonics

const toXYZ = (r:number, th:number, ph:number) => [r*Math.sin(ph)*Math.cos(th), r*Math.cos(ph), r*Math.sin(ph)*Math.sin(th)];

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