#L01 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.1在3D思維導圖中查看

向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

Hermann Grassmann & J. W. Gibbs · 1844년

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2},\quad \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|_2}

\|\mathbf{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |v_i|

度量向量長度(範數)並將其縮放為單位方向向量v̂，是3D遊戲角色移動控制與機器學習L1/L2正則化防過擬合的基礎。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

分量 vx

分量 vy

分量 vz

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5.000, \quad \hat{\mathbf{v}} = \left(0.60, 0.80, 0.00\right)

유클리드 노름 ||v||₂

5.0000

단위벡터 v̂ (x, y, z)

(0.60, 0.80, 0.00)

맨해튼 노름 ||v||₁

7.00

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (6 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 5#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 6#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

🚀 由此公式衍生的進階公式 (3)

#C08偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)#L02向量點積(內積)與餘弦相似度 #L03三維向量叉積(外積)與表面法向量

幾何與直觀原理解析

게임에서 위쪽 키와 오른쪽 키를 동시에 누르면 이동 벡터가 (1, 1)이 되어 속도가 √2 ≈ 1.414배 빨라지는 버그가 생깁니다. 이를 L2 노름 ‖v‖로 나누어 정규화(v̂)하면 어느 방향이든 속도가 1로 일정해집니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: n차원 벡터 v = (v₁, v₂, …, v_n) 의 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 ‖v‖₂ = √(v₁² + v₂² + … + v_n²)
Step 2.2단계: 각 성분을 ‖v‖₂ 로 나눈 벡터 v̂ = v / ‖v‖₂ 의 길이를 재면 ‖v̂‖₂ = ‖v‖₂ / ‖v‖₂ = 1 이 됩니다.
Step 3.3단계: 절댓값 합 ‖v‖₁ = ∑|v_i| 는 격자 도로를 따라 이동하는 맨해튼 거리(L1 Norm)를 나타냅니다.

AI與程式實戰應用

深度學習L1/L2權重衰減正則化、LayerNorm層歸一化與3D遊戲角色斜向移動速度歸一化

#L1/L2 Regularization#3D Vector Normalize#Embedding Norm

const norm2 = Math.hypot(vx, vy, vz); const unit = [vx/norm2, vy/norm2, vz/norm2];

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