#G04 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思維導圖中查看

單位圓三角函數與基本恆等式

Hipparchus, Aryabhata & Euler · 公元前 140 年

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),1+tan⁡2θ=sec⁡2θP(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta),\quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

將餘弦與正弦定義為單位圓上的座標(cos θ, sin θ)，突破直角三角形限制以描述任意角度旋轉與週期波動。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器
旋轉角 θ°
cos⁡(45∘)=0.707,  sin⁡(45∘)=0.707,  cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos(45^\circ) = 0.707, \; \sin(45^\circ) = 0.707, \; \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1
cos θ (x좌표)
0.7071
sin θ (y좌표)
0.7071
tan θ (기울기)
1.0000
(0.71, 0.71)

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (6 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程
STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式
STEP 3#A03指數法則與根式運算
STEP 4#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)
STEP 5#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式
STEP 6#G04單位圓三角函數與基本恆等式

🚀 由此公式衍生的進階公式 (8)

#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式#G05正弦定理與餘弦定理#G06三角函數和差角公式與二倍角公式#G08球座標系轉換與球的體積·表面積#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)#C09傅立葉級數與傅立葉變換 (時域↔頻域)#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量#L072D·3D旋轉矩陣與正交矩陣群 SO(3)

幾何與直觀原理解析

단위원(반지름 1) 위를 도는 점의 그림자를 x축에 비추면 cos θ, y축에 비추면 sin θ가 됩니다. 반지름이 1인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 언제나 cos²θ + sin²θ = 1² = 1 입니다.

分步公式推導過程

  1. Step 1.1단계: 원점 중심, 반지름 1인 단위원 방정식은 x² + y² = 1 입니다.
  2. Step 2.2단계: 각도 θ에 대한 단위원 위의 점 좌표를 x = cos θ, y = sin θ 로 정의합니다.
  3. Step 3.3단계: 이를 원의 방정식에 대입하면 cos²θ + sin²θ = 1 이며, 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ

AI與程式實戰應用

大語言模型Transformer旋轉位置編碼(RoPE)與3D遊戲圓周運動/波浪著色器

#LLM RoPE Encoding#Wave Shader#Circular Orbit
const posOnCircle = (r: number, rad: number) => ({ x: r * Math.cos(rad), y: r * Math.sin(rad) });

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