#A09 · 代數學與數論 (Algebra) · Lv.3在3D思維導圖中查看

虛數單位 i 與複平面極座標形式

Bombelli, Euler & Gauss · 1799년

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta),\quad i^2 = -1

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b, a)

引入滿足i²=-1的虛數單位將數系擴展至二維複平面，完成了代數基本定理並將複數乘法轉化為平面旋轉。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

實部 a

虛部 b

z = 3 + (4)i \implies |z| = 5.00, \; \theta = 53.1^\circ

절댓값 r = |z|

5.000

편각 θ (deg)

53.1°

제곱 회전 z²

-7.0 + (24.0)i

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (8 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)#L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

幾何與直觀原理解析

실수선에서 -1을 곱하는 것이 180° 반전이라면, i를 곱하는 것은 정확히 90° 반시계 방향 회전입니다! 두 번 90° 회전하면 180° 반전이 되므로 i × i = -1 이 기하학적으로 당연해집니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 판별식 D < 0 인 이차방정식 x² + 1 = 0 의 해를 i = √(-1) 로 정의합니다.
Step 2.2단계: 복소수 z = a + bi 를 좌표평면의 점 (a, b) 로 대응시키면 원점 거리는 피타고라스 정리에 의해 r = √(a² + b²)
Step 3.3단계: 삼각함수로 치환하면 a = r cos θ, b = r sin θ 이므로 z = r(cos θ + i sin θ) 극형식이 얻어집니다.

AI與程式實戰應用

音訊與無線通信FFT複數頻譜分析、量子計算量子位元振幅與碎形圖形渲染

#Quantum Computing#RF Signal DSP#2D Rotation

const mag = Math.hypot(re, im); const phase = Math.atan2(im, re);

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