#P04 · 概率統計與AI優化 (Probability & AI) · Lv.2在3D思維導圖中查看

數學期望與方差 (隨機變量矩)

Christiaan Huygens & Pafnuty Chebyshev · 1657년

E[X] = \sum_i x_i p_i, \quad \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2

\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}, \quad E[aX+b] = aE[X]+b

度量隨機變量分布重心（數學期望 μ）以及數據偏離中心平方均值（方差 σ²）的基礎統計公式。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

收益 x₁ (p=0.5)

收益 x₂ (p=0.3)

收益 x₃ (p=0.2)

E[X] = 10.00, \quad \operatorname{Var}(X) = 175.0 - (10.0)^2 = 75.00

기댓값 E[X] (평균 μ)

10.000

분산 Var(X) = σ²

75.000

표준편차 σ

8.660

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (7 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#P01排列與組合 (計數原理)

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

STEP 3#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 4#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 5#P02條件概率與乘法定理

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

STEP 6#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 7#P04數學期望與方差 (隨機變量矩)

E[X] = \sum_i x_i p_i

🚀 由此公式衍生的進階公式 (5)

#P05二項分布與伯努利試驗 #P06常態分布 (高斯分布) 與標準分數 Z #P07中央極限定理 (CLT) 與信賴區間 #P08皮爾遜相關係數與最小二乘線性回歸 (OLS)#P09香農資訊熵與交叉熵損失 (Cross-Entropy)

幾何與直觀原理解析

'제곱의 평균 빼기 평균의 제곱(E[X²] - E[X]²)'은 매번 편차를 구하지 않고도 한 번의 순회로 분산을 빠르게 계산하게 해 줍니다.

分步公式推導過程

Step 1.Var(X) = E[(X - μ)²] = E[X² - 2μX + μ²] (단, μ = E[X])
Step 2.기댓값의 선형성에 의해 E[X²] - 2μE[X] + μ² = E[X²] - 2μ² + μ²
Step 3.따라서 Var(X) = E[X²] - (E[X])²

AI與程式實戰應用

強化學習(RL)期望累計獎勵最大化、深度學習批歸一化(BatchNorm/LayerNorm)及權重初始化的核心公式。

#Reinforcement Learning#Batch Normalization#Quant Risk#Weight Initialization

const mean = xs.reduce((a,b)=>a+b,0)/xs.length; const variance = xs.reduce((s,x)=>s+(x-mean)**2,0)/xs.length;

概率統計與AI優化 (Probability & AI) — 同領域相關公式

Lv.2 · LLM Next-Token

Lv.3 · Diffusion Models

#P06

中央極限定理 (CLT) 與信賴區間

Lv.4 · Mini-Batch SGD

#P07