#C03 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.3在3D思維導圖中查看

乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)

Gottfried Wilhelm Leibniz · 1676년

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},\quad (uv)' = u'v + uv'

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

將多層複合函數的導數分解為各級局部導數的連乘積，正是現代AI深度學習神經網路反向傳播演算法(Backpropagation)的核心引擎！

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

內層係數 a

外層冪次 n

輸入 x

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = 3(3.0)^{2} \cdot (2) = 54.00

합성미분 dy/dx (역전파)

54.000

외부 미분 dy/du = 3u^2

27.000

내부 미분 du/dx = a

2.000

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (8 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 2#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 3#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 4#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 5#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 6#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 7#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 8#C03乘積法則與複合函數鏈式法則 (Chain Rule)

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

🚀 由此公式衍生的進階公式 (3)

#C05換元積分法與分部積分法 #C08偏導數與梯度向量 (∇f 多元微積分)#P10Softmax函數與隨機梯度下降 (SGD)

幾何與直觀原理解析

톱니바퀴 A가 1바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고(du/dx=3), B가 1바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면(dy/du=2), A가 1바퀴 돌 때 C는 2 × 3 = 6바퀴 돕니다(dy/dx = dy/du · du/dx).

分步公式推導過程

Step 1.1단계: u = g(x), y = f(u) 일 때 증분 비율은 Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) 로 분리됩니다.
Step 2.2단계: Δx → 0 일 때 연속성에 의해 Δu → 0 이므로 각각의 극한이 도함수 f'(u) 와 g'(x) 로 수렴합니다.
Step 3.3단계: 다층 신경망 y = f_L(...f_2(f_1(x))) 에서도 출력 오차부터 입력층까지 국소 미분을 곱해 역전파합니다.

AI與程式實戰應用

深度學習神經網路誤差反向傳播(Backpropagation)與PyTorch自動微分(Autograd)計算圖核心

#Deep Learning Backprop#PyTorch Autograd#Neural Net Training

const dL_dw = dL_dy * dy_du * du_dw; // Backpropagation Chain Rule

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