#L02 · 線性代數 (Linear Algebra) · Lv.2在3D思維導圖中查看

向量點積(內積)與餘弦相似度

J. W. Gibbs & Oliver Heaviside · 1881년

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

\text{sim}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}

將簡單的對應分量乘積之和(∑ a_i b_i)與幾何夾角餘弦完美等同，是LLM向量資料庫檢索(RAG)、Transformer注意力機制與3D光照渲染的絕對核心。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

向量 a_x

向量 a_y

向量 b_x

向量 b_y

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (4)(2) + (2)(4) = 16.0, \quad \cos\theta = 0.800

내적 a · b

16.000

코사인 유사도 cos θ

0.8000

두 벡터 사잇각 θ

36.9°

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (10 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#L01向量運算與 L1·L2 範數及單位向量歸一化

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

STEP 7#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 8#G02二維與三維空間歐幾里得距離公式

d(P

STEP 9#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

STEP 10#L02向量點積(內積)與餘弦相似度

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta

🚀 由此公式衍生的進階公式 (5)

#L03三維向量叉積(外積)與表面法向量 #L04矩陣乘法與線性變換複合 (GEMM)#L09奇異值分解(SVD)與主成分分析(PCA)#L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)#P08皮爾遜相關係數與最小二乘線性回歸 (OLS)

幾何與直觀原理解析

두 벡터가 같은 방향(0°)을 바라보면 cos θ = 1 (유사도 최대), 수직(90°)이면 내적이 0 (무관함/직교), 반대 방향(180°)이면 -1 이 됩니다. 게임에서 적이 내 시야각 안에 있는지, 태양빛이 표면에 얼마나 수직으로 비치는지 단 한 줄로 판별합니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 두 벡터 a, b와 차이 벡터 (a - b)가 이루는 삼각형에 제2코사인법칙을 적용합니다 → ‖a - b‖² = ‖a‖² + ‖b‖² - 2‖a‖‖b‖cos θ
Step 2.2단계: 좌변을 성분별로 전개하면 ∑(a_i - b_i)² = ∑a_i² + ∑b_i² - 2∑a_i b_i 입니다.
Step 3.3단계: 양변의 ‖a‖² + ‖b‖² 을 소거하고 -2로 나누면 ∑ a_i b_i = ‖a‖‖b‖cos θ 가 완벽히 증명됩니다.

AI與程式實戰應用

ChatGPT自注意力機制(Q·K^T點積)、RAG向量資料庫餘弦檢索與3D圖形蘭伯特漫反射光照(N·L)

#LLM Self-Attention Q·K#RAG Vector DB#3D Lighting Shader

const cosSim = (a:number[], b:number[]) => dot(a,b) / (norm(a) * norm(b));

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