#G05 · 幾何與三角函數 (Geometry & Trig) · Lv.2在3D思維導圖中查看

正弦定理與餘弦定理

Al-Kashi & François Viète · 1427년

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C,\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

將畢氏定理推廣至任意三角形的普適定理，是GPS三角測量、機器人逆運動學與向量點積公式的幾何源頭。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

邊 a

邊 b

夾角 C°

c = \sqrt{7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 60^\circ} = 7.550

Opposite Side c

7.5498

Triangle Area

24.249

Circumdiameter 2R

8.718

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (7 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 6#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 7#G05正弦定理與餘弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

🚀 由此公式衍生的進階公式 (2)

#G06三角函數和差角公式與二倍角公式 #L02向量點積(內積)與餘弦相似度

幾何與直觀原理解析

각 C가 90°일 때 cos 90° = 0 이므로 c² = a² + b² (피타고라스 정리)이 되고, 예각이면 빗변이 줄어들어 -2ab cos C 만큼 작아지며, 둔각이면 cos C < 0 이라 더 길어집니다.

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 꼭짓점 C를 원점 (0,0), 점 B를 (a,0)에 두면 점 A의 좌표는 (b cos C, b sin C) 입니다.
Step 2.2단계: 두 점 A, B 사이의 거리 제곱 c² = (b cos C - a)² + (b sin C - 0)² 을 전개합니다.
Step 3.3단계: b²(cos²C + sin²C) - 2ab cos C + a² = a² + b² - 2ab cos C 가 유도됩니다.

AI與程式實戰應用

機器人機械臂與3D角色骨骼逆運動學(IK)關節角求解及GPS三角測量

#Inverse Kinematics IK#GPS Triangulation#Vector Dot Product

const cosC = (a*a + b*b - c*c) / (2 * a * b);

幾何與三角函數 (Geometry & Trig) — 同領域相關公式

畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

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