#C07 · 微積分與分析學 (Calculus) · Lv.4在3D思維導圖中查看

歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)

Leonhard Euler · 1748년

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta,\quad e^{i\pi} + 1 = 0

\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

將自然常數e、虛數i、圓周率π與三角函數完美統一於 e^(iθ) = cos θ + i sin θ，被譽為人類數學最美公式，是傅立葉變換與量子力學波函數的基石。

🧮 即時公式計算器與圖形繪製器

相位角 θ°

e^{i(180^\circ)} = \cos(180^\circ) + i\sin(180^\circ) = -1.000 + (0.000)i

실수부 Re = cos θ

-1.0000

허수부 Im = sin θ

0.0000

|e^(iθ)| 단위원 크기

1.0000

先修概念路徑 (Prerequisite Path) (16 STEP)

完整路徑分析

按順序點擊即可沿3D霓虹路徑從基礎直達目標公式。

STEP 1#A01等式性質與一元一次方程

ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}

STEP 2#A02乘法公式與因式分解恆等式

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

STEP 3#G01畢達哥拉斯定理 (畢氏定理)

a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}

STEP 4#G03圓周率 π 與弧度制·扇形公式

l = r\theta

STEP 5#A03指數法則與根式運算

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

STEP 6#A04一元二次方程求根公式與判別式

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

STEP 7#A06對數運算法則與換底公式

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

STEP 8#A08二項式定理與帕斯卡三角形

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

STEP 9#A07等差·等比數列求和與無窮等比級數

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

STEP 10#C02導數定義與瞬時變化率 (切線斜率)

f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

STEP 11#G04單位圓三角函數與基本恆等式

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

STEP 12#C01極限的定義與自然常數 e 的誕生

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828

STEP 13#C04微積分基本定理與定積分 (牛頓-萊布尼茨公式)

\int_a^b f(x)\

STEP 14#A09虛數單位 i 與複平面極座標形式

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

STEP 15#C06泰勒級數與麥克勞林多項式展開

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

STEP 16#C07歐拉公式與歐拉恆等式 (上帝公式)

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

🚀 由此公式衍生的進階公式 (3)

#C09傅立葉級數與傅立葉變換 (時域↔頻域)#C10常微分方程與阻尼諧振子 (物理引擎·擴散模型)#L10四元數(Quaternion)與3D球面線性插值(SLERP)

幾何與直觀原理解析

e^x 의 테일러 급수에 x 대신 iθ 를 넣으면, 짝수 차수 항들은 i²=-1 에 의해 부호가 교차하는 cos θ 급수가 되고, 홀수 차수 항들은 i로 묶여 sin θ 급수가 되어 두 세계가 완벽히 하나로 합쳐집니다!

分步公式推導過程

Step 1.1단계: 매클로린 급수 e^(iθ) = 1 + iθ + (iθ)²/2! + (iθ)³/3! + (iθ)⁴/4! + … 를 전개합니다.
Step 2.2단계: i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 을 대입해 실수부와 허수부로 묶습니다 → (1 - θ²/2! + θ⁴/4! - …) + i(θ - θ³/3! + θ⁵/5! - …)
Step 3.3단계: 괄호 안이 각각 cos θ 와 sin θ 의 매클로린 급수이므로 e^(iθ) = cos θ + i sin θ (θ=π 대입 시 e^(iπ) + 1 = 0)

AI與程式實戰應用

大語言模型旋轉位置編碼(RoPE: e^(imθ))、FFT複指數基函數與量子計算相位閘

#LLM RoPE e^(imθ)#Fourier Basis#Quantum Phase

const eulerCis = (theta: number) => ({ re: Math.cos(theta), im: Math.sin(theta) });

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